Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Der Rechenweg gleicht dem bei 1. Drei Punkte gegeben aufgezeigten, nur dass hier die Parameterform bereits vorliegt. Gegebene Parameterform: X = (x | y | z) = (0 | 2 | -1) + s · (6 | -7 | 1) + t · (1 | -2 | 2) X = (x | y | z) = A + s · AB + t · AC Wir können ablesen: AB = (6 | -7 | 1) AC = (1 | -2 | 2) Punkte B und C bestimmen (optional): B = AB + A B = (6 | -7 | 1) + (0 | 2 | -1) C = AC + A C = (1 | -2 | 2) + (0 | 2 | -1) Als erstes berechnen wir aus den Vektoren AB und AC den Normalenvektor N, damit wir auf die Normalenform gelangen: Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen: 5. Umwandlung von Parameterform in Normalenform Wie dies geht, haben wir bereits in dem Text zuvor geklärt, vergleiche 4. Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform. 6. Analytische Geometrie im Raum. Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Wie dies geht, haben wir bereits in dem Text zuvor geklärt, vergleiche 4. Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform.
Schnittpunkt zweier Ebenen berechnen, Beispiel 3 | V. 02. 03 - YouTube
Aus $3x -2y + z = 1$ wird somit $3(\lambda-\mu)-2(1+\mu)+(-1-\lambda+\mu)=1$ ⇔ $\lambda -2\mu = 2$ Schritt 2: In der Parametergleichung einen Parameter durch den anderen ausdrücken Die letzte Gleichung aus Schritt 1 erlaubt es uns, einen der beiden Parameter $\lambda$ und $\mu$ durch den anderen auszudrücken.
Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen als Parameterform bzw. Koordinatenform bieten sich unterschiedliche Verfahrenswege an. Koordinatenform und Koordinatenform Die 2 Koordinatengleichungen ergeben ein unterbestimmes Gleichungssystem. Ich löse dieses GLS, wobei ich gleich eine der Koordinaten, sagen wir z=t, als Laufparameter der zu erwartenden Geraden festlege und x, y in Abhängigkeit von t berechne. Lagebeziehung von Geraden Rechner. Das Ergebnis für (x, y, z) ist die Schnittgerade. Mathe Eingabe Ausgabe 1 E1(x, y, z):= 2x+2y-z-6 2 E_1:=E1(x, y, z)=0 3 E2(x, y, z):= 6x+9y+2z+22 4 E_2:=E2(x, y, z)=0 : 5 E2(x, y, t)-3*E1(x, y, t) in E1 6 Löse($5, y) 7 Ersetze(E1(x, y, t), $6) 8 Löse($7, x) 9 g(t):=Ersetze((x, y, t), {$6, $8})
Mit Hilfe dieser drei Vektoren können wir direkt die Parameterform aufstellen: X = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12) (x | y | z) = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12) Hinweis: Dieses Lösungsverfahren funktioniert nur, wenn beim Normalenvektor keine 0 gegeben ist. Wenn man eine Null gegeben hat, so sind senkrecht zu N(x | y | 0) die Vektoren (y | -x | 0) und (0 | 0 | 1). Wenn man sogar zwei Nullen als Komponenten gegeben hat, sind senkrecht zu N(x | 0 | 0) die Vektoren (0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1).
Testen: Liegt der Punkt ( 2 | 5 | 2) auf g: x= ( 1) +r ( 2) 3 0 4 6? Vektorgleichung: ( 2) = ( 1) +r ( 2) 5 3 0 2 4 6 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 = 1 +2r 5 = 3 2 = 4 +6r Das Gleichungssystem löst man so: -2r = -1 0 = -2 -6r = 2 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) -2r = -1 0 = -2 0 = 5 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) dritte Zeile: 0r = 5 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 5 ist. Also liegt der Punkt nicht darauf. Die Geraden haben einen Punkt nicht gemeinsam. Also sind sie nicht identisch, also parallel. Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden identisch sind? Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9 und g: x= ( 3) +r ( 8) 3 0 5 12 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1, 33⋅ = Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Testen: Liegt der Punkt ( 3 | 3 | 5) auf g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9? Vektorgleichung: ( 3) = ( 1) +r ( 6) 3 3 0 5 2 9 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 = 1 +6r 3 = 3 5 = 2 +9r So formt man das Gleichungssystem um: -6r = -2 0 = 0 -9r = -3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
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