Eine explizite Abhängigkeit der Integrale von der Zeit wie im zweiten der aufgeführten #Beispiele ist je nach Quelle erlaubt [2] [5] oder nicht [1] [6] und die Integrale werden auch Bewegungskonstanten genannt [7] oder davon unterschieden. [6] Definitionen In der Literatur finden sich unterschiedlich formulierte Definitionen: (t ist die unabhängige Variable (Zeit), x ∈ V ⊆ ℝⁿ die Lösungsfunktion (Ort) und v die Zeitableitung von x) Ein Integral der Bewegung eines Bewegungstyps ist eine Funktion F(x, v), die auf einer beliebigen Bahn des Bewegungstyps konstant ist und nur von der Bahn als Ganzem und damit allein von den Anfangsbedingungen abhängt. [1] Das Integral der Bewegung ist eine Funktion der Koordinaten, die entlang einer Phasenraum - Trajektorie konstant bleibt. [4] Ein Integral der Bewegung ist für ein gegebenes dynamisches System jede reellwertige, unendlich oft differenzierbare Funktion (∈ C ∞), die längs der Integralkurven des dem System zugrunde liegenden Vektorfelds konstant ist.
[2] Generell bleiben die Größen nur unter speziellen, idealisierten Bedingungen – im mathematischen Modell – unveränderlich, wie zum Beispiel die Gesamtenergie in einem isolierten System. Denn die Unterdrückung jedweder Wechselwirkung des Systems mit seiner Umgebung lässt sich in der Realität nur temporär und näherungsweise sicherstellen, siehe Irreversibler Prozess. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei konstanter Beschleunigung ist, wo c eine Konstante ist und die Überpunkte die zweite Zeitableitung bilden. Die Funktion ist dann ein Integral der Bewegung, was sich durch Ableitung nach der Zeit nachprüfen lässt. Ein Beispiel mit expliziter Abhängigkeit des Integrals von der Zeit liefert die gleichförmige Bewegung. Bei ihr ist konstant. Wenn das Skalarprodukt "·" der Beschleunigung mit der Geschwindigkeit jederzeit verschwindet, die beiden Vektoren also jederzeit senkrecht zueinander sind, dann ist das Geschwindigkeitsquadrat ein Integral der Bewegung: Wenn die Beschleunigung proportional zum Ortsvektor ist, mit skalarem f und Komponenten bezüglich der Standardbasis ê i, dann sind die Differenzen Konstanten der Bewegung.
Und natürliche Bewegung Natürliche Bewegung ist die funktionelle Bewegung, die in deinen Körper zumindest als Potenzial eingebettet ist. Integrale Bewegung ist die Qualität, wenn sich der ganze Mensch, und nicht nur der Körper, als Einheit bewegt. Natürliche Bewegung beinhaltet primäre, evolutionär gewachsene Bewegungsformen wie stehen, gehen, rennen, werfen und tragen. Unsere individuelle Bewegungs-Entwicklung beziehen wir ebenso ein: liegen, rollen, aufrichten, hocken, kriechen, hüpfen, springen und landen, ziehen und stoßen. Natürliche Bewegung umfasst Stabilität, Agilität, Flexibilität, Elastizität, Mobilität und Fluidität. Sie ermöglicht dir, dich mühelos und kontinuierlich zu bewegen und dabei Stärke, Kraft und Ausdauer zu entwickeln. Integrale Bewegung ist deine Ganzheit, die sich bewegt, fließt und wächst wie ein Fluss. Hier wird auch die soziale und kulturelle Bewegungs-Entwicklung nachvollzogen: einerseits im Ausdruck, in der Geste, im Tanz; andererseits vom Spiel über den Kampf hin zur Kampfkunst.
[1] In Differentialschreibweise wird diese Gleichung als notiert. Ein Itō-Prozess kann also als verallgemeinerter Wiener-Prozess mit zufälligem Drift und Volatilität angesehen werden. Das Prädikat " ist ein Itō-Prozess" wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ausgehend hiervon wurden dann von Itō selbst die ersten stochastischen Differentialgleichungen definiert. Hängen der Driftkoeffizient und der Diffusionskoeffizient nicht von der Zeit ab, so spricht man von Itō-Diffusion – hängen sie zusätzlich von der Zeit ab, so liegt dagegen ein allgemeinerer Itō-Prozess vor. Durch zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Modellierung, insbesondere in der statistischen Physik und der Finanzmathematik, hat sich der Itō-Kalkül inzwischen zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug entwickelt. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Diskretes stochastisches Integral Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] J. Jacod, A. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes.
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Z. B. Weg = Geschwindigkeit · Zeit, \(s=v\cdot t\), oder Arbeit = Kraft · Weg, \(W=F\cdot s\). Das funktioniert aber nicht mehr so recht, wenn der "Proportionalitaetsfaktor" (in den Beispielen \(v\) bzw. \(F\)) gar keine Konstante ist, sondern von der zweiten Groesse (\(t\) bzw. \(s\)) abhaengt. Dann kann man sich immer noch auf das Prinzip "Im Kleinen ist alles linear" berufen und z. sagen: Fuer kleinste Zeitintervalle \(dt\) und die in ihnen zurueckgelegten Strecken \(ds\) gilt die urspruengliche Proportionalitaet trotzdem, \(ds=v(t)\, dt\) (aber natuerlich für jeden Zeitpunkt \(t\) eine andere). Num muss man bloss noch diese vielen Kleinststrecken \(ds\) im gewuenschten Gesamtzeitintervall \([t_1, t_2]\) zum Endergebnis "aufsummieren", also integrieren: $$s=\int_{t_1}^{t_2}ds=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\, dt. $$ Daran sieht man auch, wie der Integralwert seine Dimension bekommt; es ist das Produkt der Dimension des Integranden und der Dimension der Groessen im Integrationsintervall. Das andere Beispiel (Verrichtete Arbeit beim Ziehen an einer Feder etwa) koenntest Du mal selber probieren.