Was Sie hier zu verlangen scheinen, ist ein Standardfehler für die Schiefe und Kurtosis einer Stichprobe aus einer normalen Population. Beachten Sie, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, Dinge wie Schiefe oder Fettschwanz (Kurtosis) abzuschätzen, die sich offensichtlich auf den Standardfehler auswirken. Die häufigsten Maßnahmen, an die Menschen denken, sind eher als 3. und 4. standardisierte Momente bekannt. [ 1, ∞) 3 k u r t Ö s ich s - - 3 [ - - 2, ∞) s k e w n e s s 2 + 1 24 / N 0 Für das, was es wert ist, sind die Standardfehler: S. E. ( s k e w n e s s) = 6 N. ( N. - - 1) ( N. - - 2) ( N. + 1) ( N. + 3) S. ( k u r t Ö s ich s) = 2 × S. ( s k e w n e s s) N. 2 - - 1 ( N. - - 3) ( N. + 5) 0 < |. 5 | [ |. 5 |, | 1 |) ≥ | 1 | Eine gute Einführung in Schiefe und Kurtosis finden Sie hier. [Im Folgenden gehe ich davon aus, dass Sie etwas vorschlagen wie "Überprüfen Sie die Probenschiefe und die Kurtosis, wenn beide innerhalb eines vorgegebenen Bereichs liegen, verwenden Sie ein normales theoretisches Verfahren, andernfalls verwenden Sie etwas anderes". ]
Wie demonstrieren die Eigenschaften Schiefe und Wölbung zunächst anhand einer Graphik. In nachfolgender Abbildung ist je eine symmetrische, eine rechtsschiefe und eine linksschiefe Verteilung dargestellt: Die Kennzahl Schiefe ist wird Null bei einer perfekt symmetrischen Verteilung, größer als Null bei einer rechtsschiefen und kleiner als Null bei einer linksschiefen Verteilung. Berechnen wir nun mit R die Schiefe der obigen Datenreihe. Hierzu installieren Sie ein R-Package, nämlich das Paket moments. Um das Paket in R zu installieren, geben Sie die folgenden zwei Befehl ein: ckages(moments) library(moments) Sie haben das Paket nun installiert. Berechnen Sie nun in R die Schiefe der Variable InsectSprays$count. Verwenden Sie hierzu den Befehl skewness(InsectSprays$count) Als Ergebnis erhalten Sie einen Wert von 0. 5709. Die Schiefe ist positiv, ist aber kleiner als 1. Somit kann man sagen, dass die Variable rechtsschief ist, wobei die Rechtsschiefe aber nur schwach ausgeprägt ist. Eine weitere bekannte Kennzahl ist die Kurtosis.
Neben den Maßen der zentralen Tendenz (Zentrum einer Verteilung) und den Dispersionsparametern (Streuung der Werte einer Verteilung um dieses Zentrum), lassen sich Verteilungen auch – wenn dies auch weniger gebräuchlich ist – über ihre Form charakterisieren. Dies kann über die Schiefe (linkssteil/rechtsschief, rechtssteil/linksschief oder symmetrisch) sowie über die Wölbung (ähnlich der Wölbung einer Normalverteilung, spitzer als die einer Normalverteilung oder flacher als die einer Normalverteilung) geschehen. Die Schiefe kann über den Momentenkoeffizienten oder über den Quartilskoeffizienten der Schiefe, die Wölbung über die Kurtosis / Exzeß bestimmt werden. Momentenkoeffizient der Schiefe Die Berechnung des Momentenkoeffizienten der Schiefe basiert auf der bereits bekannten Formel für die Berechnung der Varianz (quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte einer Verteilung von deren arithmetischem Mittel). Da die Berechnung des Momentenkoeffizienten die Berechnung des arithmetischen Mittels voraussetzt, kann dieser nur für metrische Daten ermittelt werden.
Der Median ist die Mitte, bzw. der Zentralwert des Datensatzes. Der Median wird genutzt, um einen einzelnen Wert der Datenreihe qualitativ einzuordnen. Wann ist der Median besser als das arithmetische Mittel? Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median. Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als arithmetisches Mittel der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann Unter- und Obermedian heißen. Was ist der Unterschied zwischen Durchschnitt und Mittelwert? Kurz gesagt merken Sie sich: Der Unterschied zwischen Durchschnitt und Mittelwert ist, dass beim Durchschnitt selten erwähnt wird, wie dieser errechnet wird, während zum Mittelwert immer die Berechnungsgrundlage genannt wird. Umgangssprachlich wird oft der Durchschnitt mit dem arithmetischen Mittel gleichgesetzt. Wann ist das arithmetische Mittel sinnvoll? Sie geben Auskunft über das Zentrum einer Verteilung und sind insbesondere dann gefragt, wenn es gilt, eine Verteilung mit nur einem Parameter zusammenzufassen – wie etwa die Einkommensverteilung mit der Angabe des Durchschnittseinkommens.
Durch die Standardisierung gilt Die Wölbung kann nur nicht-negative Werte annehmen. Ein Wert deutet darauf, dass die standardisierten Beobachtungen nahe dem Mittelwert konzentriert sind, d. h. die Verteilung ist flachgipflig (siehe Bild), für ist die Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung spitzgipflig. Wölbung einer Zufallsvariable [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung normiertes viertes zentrales Moment. mit dem Erwartungswert. Als Darstellung mittels der Kumulanten ergibt sich Schätzung der Wölbung einer Grundgesamtheit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zur Schätzung der unbekannten Wölbung einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten ( der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden: mit dem Stichprobenmittel und der Stichprobenstandardabweichung.