Möchte man eine stetige Funktion $ z = f(x, y)$ mit zwei unabhängigen Variablen $ x, y $ partiell differenzieren, so muss man eine der Variablen konstant halten und die andere differenzieren. Dies gilt für $ x $ und auch für $ y $. Mit $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$, In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt. Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $ erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$. In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt. Partielle ableitung beispiel von. Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$: $\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $ Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist: $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $. Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist: $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.
Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern. Beispiel partielle ableitung. Sie treten auch in der Jacobi-Matrix auf. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beispiel 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Als Beispiel wird die Funktion mit betrachtet, die von den beiden Variablen und abhängt. Betrachtet man als eine Konstante, z. B., so hängt die Funktion mit nur noch von der Variablen ab: Für die neue Funktion gilt folglich und man kann den Differenzialquotienten bilden Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion nach bildet: Die partielle Ableitung von nach lautet entsprechend: Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt.
□ \qed Folgerung Sei f: D → R f:D\rightarrow\R ( D ⊂ R n D\subset\R^n offen) k k mal stetig differenzierbar. Dann gilt: ∂ k f ∂ x i k … ∂ x i 1 ( ξ) = ∂ k f ∂ x i π ( k) … x i π ( 1) ( ξ) \dfrac{\partial^k f}{\partial x_{i_k}\dots\partial x_{i_1}}(\xi)= \dfrac{\partial^k f}{\partial x_{i_{\pi(k)}}\dots x_{i_{\pi(1)}}}(\xi) für jede Permutation π: { 1, …, k} → { 1, …, k} \pi:\{1, \dots, k\}\rightarrow\{1, \dots, k\}. Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches. Partielle Ableitungen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Stephen Hawking Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden. Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel. : 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: cο@maτhepedιa. dе
→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe totales Differential Verallgemeinerung: Richtungsableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die Richtungsableitung dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Kurt Endl; Wolfgang Luh: Analysis II, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 Hans Grauert; Wolfgang Fischer: Differential- und Integralrechnung II, 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Heuser verweist auf J. f. reine u. angew. Math., Nr. Höhere partielle Ableitungen und der Satz von Schwarz - Mathepedia. 17 (1837) (Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2., Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [1]. ↑ Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko: Ebene Flächentragwerke. Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten.
Quelle und weitere Infos: Berufsverband Orthoptik Deutschland e. V.
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