1 zu beweisen. Jetzt wirklich: Beweis von Satz III. 1 noch einmal der Satz: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. Es sind also zwei Beweise zu führen: Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben. ) Der Existenzbeweis Es sei eine Strecke Behauptung: Es gibt einen Punkt auf der Strecke der zu den Endpunkten und jeweils ein und denselben Abstand hat. Die Behauptung noch mal:. Der Beweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt. Beweisschritt Begründung (I) Axiom vom Lineal (II) (I), Axiom vom Lineal (III) (II), Axiom vom Lineal (IV) und damit (I)-(III) (V) Def. Zw., (I)-(IV) (VI) (V), Rechnen in R (VII) (I)-(III), (VI) (VIII) ist der Mittelpunkt von (VII), Def. Mittelpunkt einer Strecke -- Tchu Tcha Tcha 13:09, 1. Jun. 2012 (CEST) Anmerkungen von Buchner zu den Begründungen von Tchu Tcha Tcha Vielen Dank für Ihre Ergänzungen. Gehen wir mal die Schritte nacheinander durch: Schritt eins und zwei haben nichts mit dem Axiom vom Lineal zu tun.
Mittelpunkt einer Strecke | mathelike Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Teilaufgabe d Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle. Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\)) (5 BE) Teilaufgabe c Für \(a \in \mathbb R^{+}\) ist die Gerade \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{, }5 \\ 0 \\ 3{, }5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben. Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade \(g_{a}\) die Würfelfläche \(CDHG\) in ihrem Mittelpunkt schneidet.
Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder. Streckenantragen Das Axiom vom Lineal Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen. Axiom III. 1: (Axiom vom Lineal) Zu jeder nicht negativen reelen Zahl gibt es auf jedem Strahl genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von den Abstand hat. Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal. Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.
Beispiele mit Mittelpunkten: Strecke, Kreis, Ellipse, Quader, Kugel, Ellipsoid Der Begriff Mittelpunkt steht in der Geometrie in engem Zusammenhang zur Punktsymmetrie [1]: Ist eine Punktmenge in der Ebene oder im Raum zu genau einem Punkt punktsymmetrisch, so nennt man den Mittelpunkt von. Beispiele mit Mittelpunkt: Strecke Kreis, Ellipse, Hyperbel Quadrat, Rechteck, reguläres Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken Quader, Kugel, Ellipsoid, Kegel Torus Quadriken, die einen Mittelpunkt besitzen, nennt man Mittelpunktsquadriken [2]. Beispiele ohne Mittelpunkt: Dreieck, reguläres Polygon mit einer ungeraden Zahl von Ecken, Parabel, Zylinder. Beispiele mit mehreren Symmetriepunkten: ein paralleles Geradenpaar, ein Zylinder. Punktmengen, die punktsymmetrisch zu wenigstens zwei Punkten sind, sind dann auch gegenüber wenigstens einer Verschiebung invariant, da die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine Parallelverschiebung (Translation) ist. Der Begriff Mittelpunkt ist typisch für die affine Geometrie.