Die Gleichung | 2 x + 3 | = 4 hat danach die Lösungen x 1 = − 3 + ( − 4) 2 u n d x 2 = − 4 − 3 2 und damit die Lösungsmenge L = { 1 2; − 7 2}. Ungleichungen mit betrag 1. Eine lineare Gleichung mit absoluten Beträgen kann also zwei Lösungen haben. Quadratische Gleichungen mit absoluten Beträgen Als quadratische Gleichungen mit absoluten Beträgen sollen Gleichungen der Form | x 2 + a x + b | + c = 0 untersucht werden. Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden: Fall 1: x 2 + a x + b ≥ 0 Dann gilt x 2 + a x + b + c = 0, und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man: x 1; 2 = − a 2 ± a 2 4 − b − c Fall 2: x 2 + a x + b < 0 Dann gilt − ( x 2 + a x + b) + c = 0, und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man: x 1; 2 = a 2 ± a 2 4 – b + c Beispiel: Es sind die Lösungen der Gleichung | x 2 − 6 x + 1 | − 8 = 0 zu ermitteln. Es sind folgende Fälle zu unterscheiden: Fall 1: x 2 − 6 x + 1 ≥ 0 Man erhält x 2 − 6 x + 1 − 8 = 0, woraus x 1; 2 = 3 ± 9 + 7 folgt, also ist x 1 = 7 u n d x 2 = − 1.
12. 09. 2021, 17:43 anna-lisa Auf diesen Beitrag antworten » Ungleichung lösen mit Betrag Meine Frage: Hallo, ich würde gerne nachfragen ob meine Lösung korrekt ist & ob jemand diese gegenprüfen könnte. Aufgabe: | x-3 | > 27| 2x-2 | Meine Ideen: Meine Überlegung: | x-3 | > 27| 2x-2 | |:2x-2 \frac{| x-3 |}{| 2x-2 |} < 27 \frac{-3}{x-2} < 27 Dann könnte ich ja im Grund alles aus aus R für x einsetzen? Ist das so korrekt oder mache ich etwas total falsch? Vielen Dank & Lg 12. 2021, 17:51 G120921 RE: Ungleichung lösen mit Betrag Fallunterscheidung: 1. x>=3 2. 1<=x<3 3. x<1 Helferlein Dazu stellen sich mir vier Fragen: 1. Wieso fällt im ersten Schritt der Betrag weg, wo Du doch nur durch den Term innerhalb der Betragstriche teilst? Ungleichungen mit betrag videos. 2. Wieso wird aus dem kleiner Zeichen im ersten Schritt ein größer? 3. Welche Rechnung hast Du im letzten Schritt vorgenommen 4. Wieso sollte die letzte Ungleichung für beliebige reelle Zahlen stimmen? Auf der linken Seite steht eine gebrochenrationale Funktion, die bei x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
Um zu sehen, was in welchem Bereich vorliegt, berechnen wir in einer Nebenrechnung, wo der Inhalt größer oder gleich $0$ ist. $$ x - 2 \geq 0 \qquad | + 2 \\ x \geq 2 $$ Im Bereich mit $x \geq 2$ ist demnach der Inhalt des Betrages positiv oder gleich $0$, die Betragsstriche können dann einfach weggelassen werden. Dieser Bereich stellt in unserer Rechnung den ersten Fall dar. Der zweite Fall beinhaltet dann alle anderen Reellen Zahlen, also $x \lt 2$. Mit diesen beiden Fällen führen wir die weitere Rechnung durch $|x - 2| = 3$. Ungleichung lösen mit Betrag. für $x \geq 2$: $$ x - 2 = 3 \qquad | + 2 \\ x = 5 $$ für $x \lt 2$: $$ -(x - 2) = 3 \\ -x + 2 = 3 \qquad | -2 \\ -x = 1 \qquad |: (-1) \\ x = -1 $$ Natürlich muss man vor Bestimmung der Lösungsmenge prüfen, ob die gefundenen Werte innerhalb der jeweils untersuchten Bereiche liegen. Da $5 \geq 2$ und $-1 \lt 2$ ist, ist das in diesem Beispiel gegeben. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also: $$ L=\left\{5;-1\right\} $$ Mit Hilfe einer Probe kann man schnell prüfen, dass diese beiden Lösungen tatsächlich die Gleichung erfüllen.
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