Anders als im zweidimensionalen Fall, bei dem eine Gerade immer durch die Gleichung $y=m \cdot x + c$ mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c bezeichnet war, ist das im $\mathbb{R}^3$ nicht mehr so eindeutig. Hier kann ein und dieselbe Gerade durch (unendlich) viele unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden. Warum ist das so? Schauen wir uns an, wie wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Parameterform, Gerade aufstellen, Stützvektor, Richtungsvektor, Anbindungspunkt | Mathe-Seite.de. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt. Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ beschreiben alle dieselbe Gerade.
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Aufstellen einer Geradengleichung » mathehilfe24
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In diesem Kapitel schauen wir uns Geradengleichungen in der analytischen Geometrie an. Das Thema Geradengleichungen in der Analysis ( $\boldsymbol{y = mx + t}$) besprechen wir im Kapitel zu den linearen Funktionen. Überblick In der analytischen Geometrie gibt es vier Möglichkeiten, eine Gerade zu beschreiben: Parameterform Koordinatenform Normalenform Hessesche Normalenform Die Koordinatenform, die Normalenform sowie die Hessesche Normalenform gibt es für Geraden nur im $\mathbb{R}^2$. Begründung: Im $\mathbb{R}^3$ gibt es für eine Gerade keinen eindeutigen Normalenvektor. Die Parameterform kann hingegen auch Geraden im $\mathbb{R}^3$ beschreiben, weshalb das die häufigste Darstellungsform ist. Parameterform Bedeutung $g$: Bezeichnung der Gerade $\vec{x}$: Punkt der Gerade $\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor) $\lambda$: Parameter ( Lambda) $\vec{u}$: Richtungsvektor Beispiel 1 $$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$ Weiterführende Informationen Parameterform Koordinatenform Beispiel 2 $$ 2x_1 + 4x_2 = 9 $$ Beispiel 3 $$ 5x - 3y = 7 $$ In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$ und $x_2$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$ und $y$ verwendet.
Mon, 15 Jul 2024 15:57:29 +0000