Man schreibt: Für x --> 2 und x gilt: f(x) --> -, für x --> 2 und x gilt: f(x) --> + Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle 2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) von - nach +. Der Graph nähert sich von links und von rechts der Geraden mit der Gleichung x = 2 beliebig genau an. Die Funktion g mit hat an der Stelle ebenfalls eine Polstelle. Für x --> 2 gilt aber g(x) --> + sowohl für x als auch für x. Man sagt: Die Funktion g hat an der Stelle 2 eine Polstelle ohne VZW. Auch der Graph von g nähert sich von links und vo rechts der Geraden mit der Gleichung x = 2 beliebig genau an. Ist Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion so gilt: --> + für x --> Die Gerade mit der Gleichung heißt senkrechte Asymptote des Graphen von f. Verhalten im Unendlichen, Näherungsfunktionen Das " Grenzverhalten " einer gebrochenrationalen Funktion f mit hängt vom Grad n des Zählerpolynoms p(x) und vom Grad m des Nennerpolynoms q(x) ab. 1. Fall: Für f mit ist n = 1 und m = 2. Da für x --> sowohl p(x) als auch q(x) gegen unendlich streben, formt man um.
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Hinter das Limes kommt die Funktion und schließlich ein Gleichzeichen sowie der ermittelte Grenzwert. $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+1}{x^2-x-2}=0$! Merke Der Grenzwert gibt Auskunft über das Verhalten einer Funktion, meist im Unendlichen. Man schreibt $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\,? $ gelesen: limes von f von x für x gegen unendlich ist...
f(-x) = f(x) b) Punktsymmetrie zum Ursprung Bed. - f(-x) = f(x) Ableitungen Ableitungsregeln. Extremstellen Kurvendiskussion. Wendestellen Ebene 2 Überschrift
Nullstellen = 0 und 0 Zähler = 0 setzen Beispiel 1: Bei der Funktion ist an der Stelle = 1 der Zähler null und der Nenner ungleich null. ist die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f. Polstelle 0 und = 0 Beispiel 2: Bei der Funktion ist an der Stelle = 3 der Zähler ungleich null und der Nenner null. ist Pollstelle der der gebrochenrationalen Funktion f. Hebbare Definitionslücke = 0 und = 0 Zähler und Nenner = 0 Beispiel 3: Bei der Funktion; D = sind an der Stelle und sowohl der Nenner als auch der Zähler gleich null. Nach dem Kürzen gilt: Für alle x D ist und damit; ist keine Polstelle; dort ist eine hebbare Definitionslücke. ist eine Polstelle. An der Stelle hat der Graph eine senkrechte Asymptote, der Punkt P ( 2 /) gehört nicht zum Graphen der Funktion f. Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel In der Umgebung einer Polstelle zeigen gebrochenrationale Funktionen unterschiedliches Verhalten. Die Funktion f mit an der Stelle eine Polstelle. Bei linksseitiger Annäherung an werden Funktionswerte beliebig klein; bei rechtsseitiger Annäherung beliebig groß.
Defition von gebrochenrationalen Funktionen Eine gebrochenrationale Funtion ist ein Bruch zweier ganzrationaler Funtionen g(x) und h(x). Dabei heißt g(x) Zählerfunktion mit dem Zählergrad ZG und h(x) heißt Nennerfunktion mit dem Nennergrad NG. Allgemeine Form der Funktion: mit dem ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) ( Grad h(x) 1). Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein Polynom. Ist z. B. g(x) = + x und (x) =, ergibt sich = =. Diese Art von Funktionen nennt man gebrochenrationale Funktion. Ist dagegen =, ergibt sich = = =. Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein ganzrationale Funktion. Damit kann man formulieren: Eine Funktion f mit,,, 0, 0, heißt gebrochenrational, wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist. Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion. Definitionsmenge Nenner = 0 setzen y-Achsenabschnitt x = 0 setzen, f(0)=... Nullstellen und Polstellen Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.
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