4 Mithilfe der Logarithmusregeln können wir die Logarithmen der Gleichung zusammenfassen. Auf der linken Seite der Gleichung wenden wir Regel an, auf der rechten Seite der Gleichung wenden wir Regel an: Sobald sich auf jeder Seite der Gleichung nur noch ein Logarithmus befindet, dürfen wir wie folgt gleichsetzen (Numerivergleich): Wir lösen die Gleichung: 5 Den Nenner des Bruchs mit der rechten Seite der Gleichung multiplizieren: Wir wenden Regel an und setzen gleich: Wir lösen die Gleichung: In diesem Fall müssen wir überprüfen, ob eine der Lösungen der Logarithmus einer negativen Zahl ist: Wir verwenden: Im Nenner erhalten wir: Wir erhalten den Logarithmus einer negativen Zahl. Dies stellt eine Scheinlösung dar, da der Logarithmus einer negativen Zahl nicht berechnet werden kann. Deshalb ergibt sich als Lösung für die Gleichung. Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet Du findest diesen Artikel toll? Übungsaufgaben zu Logarithmusgleichungen | Superprof. Vergib eine Note! Loading...
Logarithmusgleichung Bei Logarithmusgleichungen steht die Unbekannte in irgendeiner Form in Verbindung mit einem Logarithmus. Bevor wir eine Logarithmusgleichung lösen, müssen wir die Regeln zum Umgang mit Logarithmen kennen. Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer 5 (142 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (27 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (60 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (12 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (65 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (34 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! Logarithmusgleichungen aufgaben mit lösungen video. 5 (18 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! 5 (142 Bewertungen) 1. Unterrichtseinheit gratis! Los geht's Regeln 1 2 3 4 5 6 Außerdem müssen wir die Lösungen überprüfen, um zu kontrollieren, dass wir nicht den Logarithmus einer negativen Zahl oder Null erhalten. Dies passiert häufig bei Logarithmen, die einen Ausdruck zweiten Grades enthalten. Beispiele zur Lösung von Logarithmusgleichungen Löse die folgenden Logarithmusgleichungen 1 Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir nur Regel anwenden (Definition des Logarithmus): 2 Wir wenden zunächst Regel an, dann Regel und erhalten so: 3 Wir wenden Regel 1 an, danach bestimmen wir die Variable Beim ersten Term wenden wir den Logarithmus eines Produkts an, beim zweiten die Regel vom Logarithmus einer Potenz.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusgleichungen sind und wie man sie löst. Definition Beispiel 1 $\log_{2}x = 3$ ist eine Logarithmusgleichung, da $x$ im Numerus steht. Beispiel 2 $\log_{x}2 = 3$ ist keine Logarithmusgleichung, da $x$ in der Basis steht. Logarithmische Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen. Logarithmusgleichungen lösen Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Logarithmusgleichungen an. Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht. Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus Eine Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich auf der einen Seite ein Logarithmus und auf der anderen Seite eine Konstante ergeben.
Das Lösen von Logarithmengleichungen erfolgt, indem man beide Seiten zur Basis a potenziert und Logarithmen- bzw. Potenzgesetze anwendet: log a x = b a log a x = a b x = a b Beispiel 1: Wie groß muss eine natürliche Zahl a mindesten sein, damit ihre n-te Potenz größer als eine gegebene Zahl b ( m i t b > a) ist? Es ist also die Lösungsmenge der Ungleichung a n > b im Grundbereich der natürlichen Zahlen zu ermitteln (wobei b und n gegeben sind und a gesucht ist). Lösung: a n > b Logarithmieren zur Basis 10 n ⋅ lg a > lg b lg a > 1 n ⋅ lg b Potenzieren zur Basis 10 a > 10 1 n ⋅ b Beispiel 2: Wie groß muss eine Zahl sein, damit ihre 5. Potenz größer als 8000 ist? Gesucht sind also alle natürlichen Zahlen a mit a 5 > 8000. Es sind also n = 5 u n d b = 8000 in die oben ermittelte allgemeine Lösung einzusetzen. Logarithmusgleichungen aufgaben mit lösungen die. Man erhält: a = 10 0, 2 ⋅ lg 8000 ≈ 10 0, 781 ≈ 6, 03
Vergib eine Note! Loading...
Mit freundlicher Unterstützung durch den Cornelsen Verlag. Duden Learnattack ist ein Angebot der Cornelsen Bildungsgruppe. Datenschutz | Impressum
In der Praxis bedeutet das, dass wir stets die Probe machen sollten, d. h. überprüfen, ob die berechneten Lösungen eingesetzt in die gegebene Gleichung zu einer wahren Aussage führen. Beispiel 10 $$ \begin{align*} 2 \cdot \log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}|\text{ Faktor beseitigen}} \\[5px] \log_{7}x^2 &= \log_{7}16 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}} \\[5px] x^2 &= 16 &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{16} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel berechnen}} \\[5px] x &= \pm 4 \\[5px] \end{align*} $$ Als Lösungen erhalten wir $x_1 = -4$ und $x_2 = +4$. Logarithmische Gleichungen Fortgeschritten Aufgabenblatt 1. Da $\log_{b}x = a$ nur für $x > 0$ definiert ist, ist $x_1 = -4$ nur eine Scheinlösung. Die einzige Lösung der Logarithmusgleichung ist $x_2 = 4$: $$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\} $$ Online-Rechner Logarithmusgleichungen online berechnen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel